Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур

Если непрерывная кривая задана уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной

этой кривой, 2-мя прямыми , и

отрезком оси Ох , рассчитывается по формуле:

. (8.16)

Это следует из геометрического

смысла определённого интеграла.

Площадь фигуры, ограниченной графиками Набросок 52

непрерывных функций у = f 1(x) и у = f 2(x), при этом f 1(x) £ f 2(x) на отрезке [а; b Вычисление площадей плоских фигур], и 2-мя прямыми х=а, х=b (набросок 52), рассчитывается по формуле:

(8.17)

Пример 63. Вычислить площадь, ограниченную

параболой , прямыми и

осью Ох. Сделайте чертёж.

Решение. Построим область, ограниченную данными

линиями (набросок 53). Потому что она представляет

собой кривролинейную трапецию на отрезке [-1; 2],

то разыскиваемую площадь вычислим по формуле (8.16): Набросок 53

Ответ: 6 кв. ед.

Пример 64. Вычислить площадь фигуры, ограниченной Вычисление площадей плоских фигур линиями , .

Решение. 1) Для вычисления площади данной фигуры поначалу построим её. 1-ая линия, определяемая уравнением является параболой, ось симметрии которой параллельна оси Оу, а ветки ориентированы вниз.

Верхушка параболы: , , т.е. О1(3; 4) - верхушка.

Найдём точки скрещения с осью Ох:

х1 = 1, х2 = 5.

С Оу: х = 0; у = – 5.

Строим параболу (набросок 54). 2-ая линия Вычисление площадей плоских фигур, определяемая уравнением

- ровная. Для её построения найдём точки скрещения с осями координат: х
у

Строим прямую. Область, заключенная меж параболой и прямой и есть фигура, площадь которой требуется отыскать.

2) Определим точки скрещения линий, ограничивающих заштрихованную фигуру. Для этого решим систему, составленную из уравнений данных линий:

.

Из рисунка 52 видно, что на отрезке [3; 5]

парабола находится Вычисление площадей плоских фигур выше прямой, т. е.

.

Для вычисления площади применим

формулу (8.17).

Набросок 54

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси Ох и 2-мя прямыми и (набросок 55) рассчитывается по формуле:

(8.18)

Объём тела, образованного вращением трапеции, ограниченной линией , вокруг оси Оу (набросок 56), рассчитывается по формуле Вычисление площадей плоских фигур:

(8.19)

Набросок 55 Набросок 56

Пример 65. Вычислить объём тела,

образованного вращением вокруг оси Ох

фигуры, ограниченной линиями:

Сделайте чертёж.

Решение. Построим область, которая

крутится вокруг оси Ох (набросок 57).

ху = 4 – это гипербола. Для её построения

составим таблицу

х – 4 – 2 – 1
у – 1 – 2 – 4

х = 1, х = 4 – прямые, параллельные оси Оу. Набросок 57

Потому что область, которая крутится вокруг оси Ох, представляет собой криволинейную трапецию на Вычисление площадей плоских фигур отрезке [1; 4] оси Ох, то для вычисления объёма тела вращения применим формулу (8.18):

.

Пример 66.Вычислить объём тела,

образованного вращением вокруг оси Оу

фигуры, ограниченной линиями:

, у =1, у = 4, х = 0 (х > 0).

Сделайте чертёж.

Решение.Уравнение

определяет эллипс. Приведём его

к каноническому виду: ;

; .

а = 3 – малая полуось; b = 6 – большая полуось.

Строим эллипс (набросок 58).

Прямые Вычисление площадей плоских фигур у = 1, у = 4 – параллельны оси Ох. Набросок 58

Объём приобретенного тела вычисляем по формуле (8.19).

Из уравнения эллипса найдём х2:

; ; . Тогда и

Несобственные интегралы

Рассматривая определение определённого интеграла, как предела интегральных сумм, мы подразумевали, что функция f(x) задана на отрезке и непрерывна на этом отрезке.

Нарушение 1-го из критерий приводит к понятию несобственного интеграла.

Определение. Если Вычисление площадей плоских фигур интеграл стремится к конечному лимиту при

неограниченном возрастании b, то этот предел именуется не-

своим интегралом с нескончаемым верхним пределом

от функции f(x) и его обозначают эмблемой .

(8.20)

В данном случае молвят, что несобственный интеграл сходится и равен данному лимиту.

Если обозначенный предел не существует (а именно, если он Вычисление площадей плоских фигур равен бесконечности) то молвят, что интеграл расползается.

Аналогично определяется интеграл с нескончаемым нижним пределом:

. (8.21)

Пример 67. Вычислить несобственные интегралы либо установить их расходимость: а) ; б) .

Решение. а) По определению несобственного интеграла с нескончаемым верхним пределом имеем:

.

Как следует, интеграл сходится.

б) По определению:

, так как . Как следует, данный интеграл расползается.


vichislenie-veroyatnostej-sobitij.html
vichislenie-znacheniya-virazhenij-i-postroenie-grafikov-v-mathcad.html
vichisleniya-po-formulam-razvetvleniya-cikli.html