Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода

Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода

Фигура, поперечник, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

Под фигурой Ω будем осознавать ограниченное замкнутое тело с вкл. гран. Множ. Поперечник d фигурыΩ будем именовать наибольшее из расстояний меж 2-мя точками этой фигуры . Для эллипса – большая ось. Под мерой ω для плоской фигуры и поверхности будем осознавать площадь S, для полосы – длину полосы Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода, для пространственного тела объём.

Определённый интеграл по фигуре Ω от данной на ней функции f(p) именуется предел n-интегральной суммы, когда . В случае когда фигура плоск. обл.Д, интеграл именуется двойным.

Масса фигуры переменной плотности

. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

,

если подынтегральная функция , , задает

плотность Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода линейная рассредотачивания поверхностная ( )

массы по большая ( )

зависимо от размерности фигуры, , ,
на .

Геометрический смысл ДИ (двойного интеграла)

Вычислим V цилиндрического тела. Сверху ограниченного поверхностью z=f(x,y) проекция поверхности на плоскость xoy =>область Д и цилиндр. образующ. кот. // oz

Разобьем область Д на n-цилиндрических тел основаниями которых будут элементы Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода области ∆ . Возьмём произвольную точку в области ∆ и h-z=f ( ), тогда ∆ =f( )* ∆ , a V ≈ =>

V=

Двойной интеграл – V цилиндрического тела с основанием Д ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)

Замечания: 1. Если объём ограниченный сверху z=f(x,y), снизу z=f1(x,y), то V=
2. Если f(x,y)≤0 неопред Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода. в области Д, то ДИ от этой функции = V цилиндрического тела взятому со знаком «-»

Геометрический смысл Кр И -1

1. Дугу кривой либо в пространстве XOYZ разбиваем на nмалых частей точками M0=A, M1,…,Mn=B; обозначаем длины хорд , (Рис. 13)

2. Вычисляем значения функции f (x,y,z) в произвольно избираемых Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода точках на i-той части разбиения и умножаем их на надлежащие длины хорд Δli: ,

3. Составляем интегральную сумму

и вычисляем её предел при λ → 0, где – это ранг разбиения.

4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от метода разбиения дуги (l) на простые части, ни от выбора на их точек Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода , то он именуется криволинейным интегралом I рода от функции

f (x, y, z) по полосы l:

Характеристики определённого интеграла по фигуре

пусть функция f(p) непрерывна на фигуре Ф т.е. ОИ по фигуре Ф существует, тогда производятся последующие характеристики:

1. f1(p)∓f2pdw= f1pdw∓ f2pdw

2. kf(p)dw=k Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода f(p)dw

3. если фигуру Ф разбить на конечное число частей, то интеграл равен сумме частей интегралов.

4. если dw=w ,

то dl=l , ds=s,d σ=σ, dv=v

5. если f1(p)

6. /f(p)dw/≤ /f(p)/dw

7. оценка интеграла по фигуре. Если m и Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода M наибольшее и меньшее значение функции f(p) на фигуре Ф, то mw≤ f(p)dw≤Mw

8. (о среднем значении) если функция f(p) непрерывна на Ф с

мерой w, то найдется точка Р∈Ф, то f(p)dw= (Po)w

Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода

волинейный интеграл просто сводится к определенному Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода интегралу. Примем за параметр длину дуги отсчитываемую от точки А по кривой получим параметрическое представление кривой где —

длина дуги Пусть в (25.3) промежным точкам

соответствует т.е. Тогда

Последняя сумма является интегральной для определения интеграла т.е.

(25.4)

Эта формула обосновывает существование криволинейного интеграла 1 рода от функции (х,у), непрерывной в Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода D, если D — непрерывная кусочно-гладкая кривая.

Разглядим формулы для вычислений криволинейного интеграла в последующих случаях:

а) х = x(t), у = y{t), где x{t) и y{t) безпрерывно

дифференцируемы на тогда (см. разд. 18.3)

т.е. из (25.4) имеем

Формула может быть обобщена на пространственный случай, т.е. если х = x(t Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода), у = y(t), z = z(t), непрерыв-

на в D, В, тогда

Аналогично записывается формула для большего числа переменных.


vichislenie-koefficientov-korrelyacii.html
vichislenie-koordinat-tochek-teodolitnogo-hoda.html
vichislenie-krivolinejnogo-integrala-1-ogo-roda.html