Вычисление интеграла Мора пример

Интеграл Мора определяет величину перемещения случайного сечения балки. Физический смысл интеграла Мора – работа единичной силы на перемещение ее точки приложения от данной нагрузки. Другими словами, отсюда следует, если при вычислении интеграла Мора итог выходит положительным, то это означает, что направление единичной силы совпадает с направлением искомого перемещения. В неприятном случае Вычисление интеграла Мора пример – направление единичной силы и искомого перемещения прямо обратны.

Этапы решения задач для определения перемещения при помощи интеграла Мора.

1. Определяются опорные реакции и составляется уравнение для изгибающих моментов МхF от данной нагрузки F = F1, F2, ….Fn.

2. Освобождается конструкция от данной нагрузки F, к таковой свободной конструкции прикладывается единичный силовой фактор ( сила равна Вычисление интеграла Мора пример единице либо момент равен единице) в направлении искомого перемещения (линейного либо углового) в данной точке К.

3. Определяются поновой опорные реакции от единичного силового фактора и составляется уравнение изгибающего момента Мк1 от этого единичного силового фактора.

4. Рассчитывается перемещение разыскиваемой точки К при помощи интеграла Мора.

Задачка.

Найти Вычисление интеграла Мора пример прогиб балки в центре просвета и угол поворота поперечного сечения на левой опоре. Твердость балки на извив - EJx , длина - ℓ.

Решение.

Используя интеграл Мора для решения необходимо составить выражения для изгибающих моментов для каждого соответствующего участка. Для данной конструкции соответствующих участка - два.

1. Определяем реакции опор RA и RB c помощью уравнений равновесия

2. Для изгибающего Вычисление интеграла Мора пример момента на первом участке МхF = F/2 ∙ z, (0 ≤ z ≤ ℓ/2);

на втором участке МхF = F/2 ∙ z - F(z - ℓ/2), (ℓ/2 ≤ z ≤ ℓ );

3. Освобождаем опору от данной нагрузки F и прикладываем силу, равную единице, в направлении искомого прогиба посреди просвета балки.

4. Определяем поновой реакции опор RA и RB.

5. Для изгибающих моментов от Вычисление интеграла Мора пример единичного силового фактора запишем:

для первого участка - Мк1 = 1/2 ∙ z, (0 ≤ z ≤ ℓ/2);

на втором участке - Мк2 = 1/2 ∙ z - (z - ℓ/2), (ℓ/2 ≤ z ≤ ℓ );

6. Определим прогиб посреди просвета балки:

δkF=

Беря во внимание, что эпюры МxF и MK симметричны можно прирастить 1-ое слагаемое вдвое и откинуть 2-ое.

7. Для определения угла поворота поперечного сечения в точке Также Вычисление интеграла Мора пример освобождаем начальную опору от нагрузки и прикладываем единичный силовой фактор - изгибающий момент, который равен единице, в направлении искомого перемещения.

8. Для новейшей расчетной схемы из условия равновесия балки определяем реакции опоры.

RA ∙ℓ - 1 = 0; RA = 1/ℓ

Условие равновесия (сумма проекций всех сил = 0) на вертикальную ось.

RA + RB =0; RB = 1/ℓ

9. Изгибающий момент от деяния сосредоточенного момента в Вычисление интеграла Мора пример т. А :

МА1 = 1 - RA ∙ z = 1 - z /ℓ (0 ≤ z ≤ ℓ )

10. Определяем угол поворота левого последнего сечения:

φАF=

Положительное значение угла поворота значит, что выбранное направление единичного силового фактора совпадает с направлением настоящего искомого перемещения.

Способ Мора нормально использовать для криволинейных брусьев малой кривизны.

Задачка.

Для металлической балки подобрать сечение из 2-ух рядом Вычисление интеграла Мора пример стоящих швеллеров, если [σ] = 160 МПа. Найти прогиб балки в центре и угол поворота на правом конце.

q = 50 кН/м; F = 15кН; М = 15 кНм.

Определяем реакции опор:

Σ МА = 0; RB = 157, 5 кН.

Σ МВ = 0; RА = 157, 5 кН.

Проверка: RА - F – q 6 + RB = 0; 157,5 – 15 - 50 · 6 + 157,5 = 0

Строим эпюру Q

→ QA = RА = 157,5 кН

→ QС = RА - q· 2 = 157,5 – 50 ·2 =57,2 кН

← QС = -RВ + q· 4 = -157,5 + 50· 4 =42,5 кН

← QВ Вычисление интеграла Мора пример = -RВ = -157,5 кН

Строим эпюру М

→ МA = М = 15 кНм

→ МС = М + RА 2 - q ·2 ·1 = 15 + 157,5 · 2 – 50 ·2 · 1 = 230 кНм

← МВ = 0

Ммах = М + RА 2,85 - F· 0,85 - q ·2,85 ·1,425 = 15 +157,5 - F 2,85– 150,83 – 50 · 2,85 · 1,425 = 248 кНм- F

Беря во внимание, что QZ = RA - F – q (2+ z) = 0, то z = = 0,85 м.

Из условия прочности по обычным напряжениям

σ = / Wx [σ]

σ = = = 1550 = 1550

Сечение состоит из 2-ух рядом стоящих швеллеров Wx = 2 Wx

Момент сопротивления 1-го швеллера Wx Вычисление интеграла Мора пример1= Wx/2 = 1550/2 = 775

По ГОСТ 8240-97 два швеллера № 40 Wx= 761 , Jx = 15220 , A = 61,5

В небезопасном сечении напряжение

σ = = 162,9 Мпа [σ]

Перегрузка П = 100% = 1,8%. Допустимая величина.

Крепкость балки обеспечена.

Определяем прогиб сечения D и угол поворота сечения К, используя уравнения исходных характеристик.

Избираем начало координат в точке О – последней левой точке балки. Определяем прогиб в центре просвета при z Вычисление интеграла Мора пример = 3 м.

ЕJx yD = ЕJx y0 + ЕJx 0 3 + M + RAy – F – q

Правило символов - как у изгибающего момента.

Находим исходные характеристики y0, из условия закрепления концов балки.

При z = 0, yA = y0 = 0, A = 0 yВ = 0. Как следует

ЕJx yВ = ЕJx 0 6 + M + RAy – F – q = 0

ЕJx 0 = -513,3 кН м,

ЕJx yD = - 513,3 2,85 + 15 + 157,5 – 15 – 50 = -1046,5 кНм3

Прогиб сечения D

yD = - = - 17,2 мм

Символ минус указывает то Вычисление интеграла Мора пример, что опора прогибается вниз.

Находим угол поворота сечения К при z = 7 м.

ЕJx К - 513,3+ 15 + 157,5 – 15 – 50 = 404,6 кНм2

К Место для формулы. = 0,00665 рад.


vich-infekciya-epidemiologiya.html
vicherchivanie-elementov-poperechnogo-razreza-zhilogo-doma.html
vichernyak-ken-temi-diplomnih-rabot-dlya-studentov-4-kursa-temi-diplomnih-rabot-dani.html