Вычисление гравитационного потенциала

Вычисление гравитационного потенциала

Фигура Земли с учетом данных Добрецова Н.Л.[3] о рассредотачивании плотности.

Пусть (к=1,2,…n)-поверхность раздела слоев с разной плотностью , –свободная поверхность Земли. ( Набросок 1)

Набросок 1- Слоистая структура Земли.

Гравитационный потенциал с учетом инерции вращения вокруг оси Z c угловой скоростью ω равен:

. (3.1)

Тут

, Z=X3, .

Вектор силы ускорения свободного падения F=∇U,

Уравнение Свободной Вычисление гравитационного потенциала поверхности раздела: =0,

Создадим подмену переменных интегрирования и подставим в (3.1),

, (3.2)

. (3.3)

Для кусочно-постоянного рассредотачивания плотности

. (3.4)

где -вектор наружной нормали к , -Функция Дирака на , -скачок плотности. Эта формула вытекает из геометрического смысла градиента – направление большего роста функции (при наличии производных, а в этом случае направление градиента выходит предельным переходом Вычисление гравитационного потенциала при помощи последовательности сглаженных функций). Подставим (3.4) в (3.3).

Таким макаром

. (3.5)  

Численная реализация

В плоскости (q,z):

Набросок 2- Элемент границы раздела.

, (4.1)

. (4.2)

В пространственных осях

, (4.3)

Распишем (4.3)

, (4.4)

При

. (4.5)

Введем интегралы:

, (4.6)

, (4.7)

, (4.8)

Тогда получим:

, (4.9)

. (4.10)

Уравнение границы разделения имеет вид:

. (4.11)

Набросок 3- Полярная Сетка.

Аппроксимация на полярной сетке уравнение (4.11):

, (4.12)

, (4.13)

. (4.14)

Вставим в формулу (4.12) значения из (4.13) и (4.14), а потом выразим R.

. (4.15)

Для Вычисление гравитационного потенциала того, чтоб вычислить интегралы в формулах (4.9)-(4.10), разглядим эллиптический интегралы:

, (4.16)

(4.16)-эллиптический интеграл первого рода,

, (4.17)

(4.17)-эллиптический интеграл второго рода,

, (4.18)

.

Тут . Получим:

, (4.19)

,

Разложим подынтегральное выражение на обыкновенные дроби:

, (4.21)

, , , ,

. (4.22)

Для вычисления интегралов использовалась последующая формула Гаусса с 2-мя узлами:

, (4.23)

. (4.24)

Входящие сюда коэффициенты определяются из условия совпадения четких и приближенных совпадений интегралов от степенных Вычисление гравитационного потенциала функций в согласовании с таблицей 7.

Таблица 7.

Точна для многочленов третей степени , , ,

. (4.23)

Результаты расчетов

Программные вычисления проявили, что фигура Земли в первом приближении представляет собой эллипсоид вращения, у которого экваториальный радиус (а) больше полярного (b) на 21,666 км (набросок 4) по справочным данным [5] . С учетом рассредотачивания по данным Добрецова- 22,946 км. По данным Гамильтона 23,244 км. По Вычисление гравитационного потенциала данным Буллену-Хаддону 20,745 км. По данным Гутенбергу-Буллену 22,585. По данным Мельхиору 23,271. По данным Современной модели Земли 20,366

Значение g приобретенное программкой для всех справочных данных оказалось фактически схожим (набросок 5).

Набросок 4- Эллипсоид.

Набросок 5- Ускорение свободного падения зависимо от широты.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В магистерской работе разработан вычислительный метод и программка в системе Вычисление гравитационного потенциала Matlab для расчета фигуры вращающейся Земли на базе данных о слоистой рассредотачивании плотности. Проведены расчеты для узнаваемых моделей слоистой Земли, результаты которых по геометрическим характеристикам оказались близкими к характеристикам эллипсоида Красовского.



vice-gubernator-zamestitel-predsedatelya-pravitelstva-orenburgskoj-oblasti-po-socialnoj-politike.html
vice-president-for-research-creativity-and-technology-transfer.html
vice-prezident-po-tehnicheskomu-razvitiyu.html