Вычисление длины биссектрисы

Для выведения нижеприведённых формул можно пользоваться аксиомой Стюарта.

где:

16. Восхитительными точками треугольника являются

17. Разглядим случайный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = hc из верхушки С его прямого угла.

Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; любой из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и поэтому подобен Вычисление длины биссектрисы треугольнику АВС.

Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны меж собой.

Из подобия треугольников определяются соотношения:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

18.

Построение касательной к окружности

Касательную из точки А к окружности можно провести последующим образом: 1. На отрезке ОА как на поперечнике строят окружность радиуса R=0,5[OA]; 2. Точки 1 и 2 скрещения приобретенной окружности с данной определяют положение точек касания; 3. Отрезки [1A]и [2A] определяют положение касательных Вычисление длины биссектрисы t1 и t2 проведенных из точки А к окружности.

Определение 12. Касательной к окружности именуется ровная, имеющая с окружностью одну общую точку.
Аксиома 7 Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной.
Аксиома 7.1 Если радиус перпендикулярен прямой в точке скрещения ею окружности, то эта ровная - касательная к этой окружности.
Для подтверждения этих Вычисление длины биссектрисы теорем нам необходимо вспомнить, что такое перпендикуляр из точки на прямую. Это кратчайшее растояние от этой точки до этой прямой. Допустим, что ОА не перпендикулярен касательной, а есть ровная ОС перпендикулярная касательной. Длина ОС заключает внутри себя длину радиуса и еще некоторый отрезок ВС, что непременно больше радиуса Вычисление длины биссектрисы. Таким макаром, можно обосновывать для хоть какой прямой. Заключаем, что радиус, радиус проведенный в точку касания, есть кратчайшее растояние до касательной из точки О, т.е. ОС перпендикулярен касательной. В подтверждении оборотной аксиомы будем исходить из того, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку. Пусть данная Вычисление длины биссектрисы ровная имеет еще одну общую точку В с окружностью. Треугольник АОВ прямоугольный и в нем две стороны равны как радиусы, чего быть не может. Таким макаром получаем, что данная ровная не имеет больше общих точек с окружность не считая точки А, т.е. является касательной.

Аксиома 8 Отрезки касательных, проведенных из Вычисление длины биссектрисы одной точки к окружности, равны, а ровная, соединяющая эту точку с центром окружности, разделяет угол меж касательными попалам.
Подтверждение очень обычное. Используя предшествующую аксиому, утверждаем, что ОВ перпендикулярен АВ, а ОС - АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС - радиусы, АО - общая Вычисление длины биссектрисы). Потому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ.

Аксиома 9 Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной меж его сторонами.
Разглядим угол NАВ, образованный касательной и хордой (рис11). Проведем поперечник АС. Касательная перпендикулярна поперечнику, проведенному в точку Вычисление длины биссектрисы касания, как следует, ÐCAN=90о. Зная аксиому 2, лицезреем, что угол альфа (a) равен половинеполовине угловой величины дуги ВС либо половине угла ВОС. ÐNAB=90о-a, отсюда получаем ÐNAB=1/2(180о-ÐBOC)=1/2ÐАОВ либо = половине угловой величины дуги ВА. ч.т.д.

Аксиома 10 Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то Вычисление длины биссектрисы квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её скрещения с окружностью.
На рисунке 12 эта аксиома смотрится так: МА2=МВ*МС. Докажем это. По предшествующей аксиоме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС, но также и Вычисление длины биссектрисы угол АВС равен половине угловой величины дуги АС по аксиоме 2, как следует, эти углы равны меж собой. Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при верхушке М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам (2-ой признак). Из подобия имеем: МА/MB=MC/MA Вычисление длины биссектрисы, откуда получаем МА2=МВ*МС

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, или дополняет половину центрального угла до 180°.

Пусть — вписанный угол окружности с центром O, опирающийся на дугу AC. Докажем, что . Разглядим три вероятных варианта расположения Вычисление длины биссектрисы луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч BO совпадает с одной из сторон , к примеру со стороной BC. В данном случае дуга AC меньше полуокружности, потому . Потому что — наружный угол равнобедренного , а углы при основании равнобедренного треугольника равны, какой-то из них это , означает их сумма равна , a . Отсюда следует Вычисление длины биссектрисы, что .

2. Луч BO разделяет на два угла. В данном случае луч BO пересекает дугу AC в некой точке D. Точка D делит дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказанному в п.1 и . Складывая эти равенства почленно, получаем: , либо .

3. Луч BO лежит вне . В данном случае Вычисление длины биссектрисы дуга AC составляет часть дуги AD. По доказанному в п.1 и . . Т.к. дуга AC = AD − DC, то

Следствия:

· Угол меж касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла Вычисление длины биссектрисы и также равен половине дуги, на которую опирается.

Вопрос 20.

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

.

Подтверждение.

Пусть есть Δ ABC.
Докажем, что

Имеем векторное равенство

Возведем в квадрат левую и правую часть равенства, получим

Либо

Аксиома подтверждена.

Аксиома Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Вычисление длины биссектрисы. Подтверждение. Пусть есть Δ ABC со сторонами a, b, с и углами α, β, γ. Докажем, что Проведем из точки С высоту CD. Тогда из Δ ACD получим: Если угол α тупой, то Из Δ BCD получаем Аналогично получаем Аксиома подтверждена.

Вопрос 21.

Окружность именуется вписанной в треугольник, если она касается через все его сторон.

Аксиома.

Центр окружности, вписанной Вычисление длины биссектрисы в треугольник, является точкой скрещения его биссектрис.

Подтверждение.

Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Означает AO биссектриса Вычисление длины биссектрисы угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на 2-ух других биссектрисах треугольника. Аксиома подтверждена.

Вопрос 22.

Окружность именуется вписанной в треугольник, если она касается через все его сторон. Аксиома. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой скрещения его биссектрис. Подтверждение. Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него Вычисление длины биссектрисы окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Означает AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на 2-ух других биссектрисах треугольника. Аксиома Вычисление длины биссектрисы подтверждена.

Вопрос 23.

· Четырёхугольник можно вписать в окружность и тогда только тогда, когда сумма обратных углов равна 180° ( ). См. также аксиома Птолемея.

· Четырёхугольник является описанным около окружности и тогда только тогда, когда суммы длин обратных сторон равны ( )

Вопрос 24.

Вектором именуется направленный отрезок.

У вектора есть начало и есть конец. Обозначается вектор строчными латинскими Вычисление длины биссектрисы знаками a, b, c, ... либо указанием его начала и конца, на первом месте всегда указывается начало. На чертежах вектор отмечается стрелкой. Время от времени слово «вектор» не пишут, а ставят стрелочку над буквенным обозначением.
Вектор AB, AB, a

Вектор AB и вектор CD именуются идиентично направленными, если полупрямые AB Вычисление длины биссектрисы и CD идиентично ориентированы
Вектор AB и вектор CD именуются обратно направленными, если полупрямые AB и CD обратно ориентированы.
a и b идиентично направленные.
a и c обратно направленные.
Абсолютной величиной вектора именуется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначается как |a| .

Суммой векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) именуется Вычисление длины биссектрисы вектор c(a1+b1; a2+b2).

Для всех векторов a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливы равенства:

Аксиома

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство

Подтверждение.

Пусть A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) – данные три точки.
Вектор AB Вычисление длины биссектрисы имеет координаты (x2 – x1; y2 – y1), вектор BC имеет координаты (x3 – x2; y3 – y2). Как следует, вектор AB + BCимеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). А вектор AC имеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). Означает, AC = AB+ BC. Аксиома подтверждена.

Произведение вектора a(a1; a2) на число λ именуется вектор (λa1; λa2), т Вычисление длины биссектрисы.е. (a1; a2) λ = (λa1; λa2).

Для хоть какого вектора a и чисел λ, μ

Для хоть какого вектора a и b и числа λ

Вопрос 25.

Два ненулевых вектора именуются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы или идиентично ориентированы, или обратно ориентированы.

Аксиома

Если есть два хороших от Вычисление длины биссектрисы нуля коллинеарных вектора, то существует число λ такое, что

Подтверждение.

Пусть a и b идиентично ориентированы.

- это векторы, которые идиентично ориентированы и имеют одну и ту же абсолютную величину |b|. Означает, они равны:

Когда векторы a и b обратно ориентированы аналогично заключаем, что

Аксиома подтверждена.

Аксиома

Хоть какой вектор с можно представить Вычисление длины биссектрисы в виде

Вопрос 26.

Есть вектора a. Пусть A (x; y) – начло вектора, а A` (x`; y`) – конец вектора. Координатами вектора a именуются числа a1=x-x`, a2=y-y`. Для обозначения того, что вектор a имеет координаты a1 и a2, употребляют запись a (a1; a2) либо (a1; a2). Абсолютная величина Вычисление длины биссектрисы вектора a (a1; a2) равна Если начало вектора совпадает с его концом, то это нулевой вектор, обозначается (0).

Аксиома

Равные векторы имеют равные надлежащие координаты.

Подтверждение

Разглядим два варианта: 1) векторы не лежат на одной прямой.

Пусть есть вектор a с началом в точке A (x; y) и концом в точке Вычисление длины биссектрисы A` (x`; y`). При параллельном переносе получаем вектор b, у которого тогда начало будет в точке B(x+c; y+d), а конец в точке B`(x`+c; y`+d). Отсюда видно, что оба вектора будут иметь одни и для тебя координаты (x-x`; y-y`).

2) векторы лежат на одной прямой.

Пусть Вычисление длины биссектрисы есть ровная l на которой лежат равные векторы AA` и BB`. A(x; y), A`(x`; y`), B(x1;y1) и B(x1`; y1`). Проведем прямую l1 параллельную l и отложим на ней вектор CD равный AA` и BB`, C (x0; y0) и D (x0`; y0`). Потому что AA Вычисление длины биссектрисы` = CD, из предшествующего пт x-x`=x0-x0` и y-y`=y0-y0`. С другой стороны BB` = CD и x1-x1`=x0-x0`, y1-y1`=y0-y0`. Сравнивая равенства получаем x-x`=x1-x1` и y-y`=y1-y1`. Аксиома подтверждена.

Вопрос 27.

Аксиома

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных Вычисление длины биссектрисы величин на косинус угла меж ними.

Подтверждение.

Пусть a и b – данные векторы и φ – угол меж ними. Имеем:

либо

Скалярное произведение ab таким макаром, выражается через длины векторов a, b и a + b т. е. систему координат можно избрать всякую, а величина скалярного произведения не поменяется. Выберем систему Вычисление длины биссектрисы координат xy так, чтоб начало координат совпало с началом вектора a, а сам вектор лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a будут числа |a| и 0, а координатами вектора a – |a| cos φ и |a| sin φ . По определению

Аксиома подтверждена.

Вопрос 28.


vibrat-nomer-pravilnogo-otveta.html
vibrat-otchetnij-period-pravo-tirazhirovaniya-programmi-sbis-0-elektronnaya-otchetnost-idokumentacii-k-nej-prinadlezhit.html
vibrioni-helikobakteri-kampilobakteri.html