Вычисление ДИ в декартовых координатах

Вычисление ДИ в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах:

Такая область именуется правильной в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области менее, чем в 2-x точках.

По определению .

Т. к. значение двойного интеграла не находится в зависимости от метода разбиения области D на Вычисление ДИ в декартовых координатах простые части, то создадим это разбиение координатными линиями полярной системы координат (лучами из полюса и концентрическими окружностями).

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сведен к повторному по имеющейся записи области D неравенствами для переменных и . В итоге получаем формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

.

Направьте внимание Вычисление ДИ в декартовых координатах, что в правой части формулы находится множитель - это якобиан (определитель Якоби) преобразования, который находится последующим образом:

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в трехмерной области V места OXY задана функция . Разобьем произвольным образом область V на простые подобласти , в каждой подобласти зафиксируем произвольную точку ( ) и составим трехмерную Вычисление ДИ в декартовых координатах интегральную сумму .

Тройным интегралом от функции по ограниченной области V именуется предел последовательности соответственных интегральных сумм при стремлении к нулю большего из поперечников простых областей , если этот предел не зависит ни от метода разбиения области V на части, ни от выбора точек :

.

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и 1-го Вычисление ДИ в декартовых координатах однократного или к вычислению 3-х повторных интегралов. Если область V ограничена сверху поверхностью , снизу поверхностью , с боков – прямым цилиндром, вырезающим на плоскости OXY область D, то .

Рис. 9

При помощи тройного интеграла объем тела, изображенного на рис. 9, вычисляют по формуле: .

Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах

Разглядим цилиндрическую систему координат: Оr Вычисление ДИ в декартовых координатахφz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz(рис. 2.19).

При всем этом

Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:

Как следует,

Тогда тройной интеграл воспримет вид:

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Разглядим сферическую систему координатОρΘφ, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При всем этом наибольшие пределы конфигурации сферических координат таковы: 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ∞

Из рис Вычисление ДИ в декартовых координатах. 2.21 несложно вывести последующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:

при помощи которых получим Якобиан преобразования:

Таким макаром, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:

Вычисление ПИ-1

Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется последующим образом:

где личные производные и равны

а значит векторное произведение. Вектор Вычисление ДИ в декартовых координатах перпендикулярен поверхности в точке .

Абсолютное значение именуется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в итоге приращения координат u и v на малые значения du и dv (набросок 1).


vibrannie-mesta-iz-perepiski-s-aspirantom.html
vibrano-otpravitsya-v-klass.html
vibrat-material-dlya-izgotovleniya-detali-i-dat-ego-rasshifrovku.html